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By Alexandra Otto (auth.)

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Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = (x 3 - x) e x-2 + sin (2rr x) + 2, deren Funktionswerte für eine übergeordnete Fragestellung benötigt werden. Der Aufwand für die Berechnungen ist recht groß. Der Graph enthält die Punkte (- 1;1), (0;2), (1;3), (2;8). Es liegt nun nahe, diese Punkte durch eine einfachere Funktion zu interpolieren und für die gesuchten Funktionswerte die Werte der Interpolationsfunktion an den entsprechenden Stellen zu verwenden. In beiden Beispielen sind n + 1 Wertepaare (xi;Yi) (0 So i S.

B. fex n-l ) = fex n- 2). Abb. 4 Betrachten wir die Zeichnung, so drängt sich sofort die folgende Frage auf: Wäre es nicht besser, die Sekante Sn-2 durch Pn-t(x n- t ; f(x n_ t» und -40P n _ 3(x n _3;f(x n _3» zu legen? Dies würde bedeuten, daß wir nach der Bestimmung des Schnittpunktes der Sekante mit der x - Achse die neue Sekante durch die Punkte mit unterschiedlichen Vorzeichen in den Funktionswerten legen. Dann haben wir aber dasselbe Verfahren Wie bei der Nullstellenbestimmung mit Hilfe des Teilungsverfahrens unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Funktionswerte an den Grenzen des Intervalls (vgl.

4) Eine solche Rechenvorschrift nennen wir Iterationsformel. Hat die Folge (x n ), wobei die Xn nach obiger Iteration berechnet wurden, den Grenzwert x, so ist x eine Nullstelle der Funktion f, wenn f stetig ist. a(i) END REPEAT; wert END PROC f; PROC sekante (REAL VAR xl, x2, eps): REAL VAR xli :: xl, xre :: x2; REPEAT berechne naechsten naeherungswert; ueberschreibe die alten grenzen; gib die neuen intervallgrenzen aus - 37- UNTIL fehlergrenze unterschritten END REPEAT; gib nullstelle aus. berechne naechsten naeherungswert: x2 := xre - f(p,xre) * (xli - xre)/ (f(p,xli) - f(p,xre)).

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